2014江苏省公务员考试行测辅导:巧用剩余定理解数学难题

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　　在江苏省公务员考试的数学运算考题中，我们常考到整除的思想，但是有些题目我们会发觉题目中的被除数不满足能被整除的条件，即有余数，有一类题目称为剩余问题，常见形式为一个数同时满足除以a余x，除以b余y,除以c余z,其中a、b、c两两互质，求满足这样条件的数。对于这类题目我们在没有学习剩余定理之前往往只能采用枚举法来解决，而这种方法是比较繁琐的，大家知道，考试的时候，时间对于我们是最重要的，因此掌握此种题型的解题方法对大家在做题准确率以及做题速度上都有很大帮助。下面结合具体的例子给大家分析如何运用剩余定理。
　　1. 特殊情况
　　(1)余同(余数相同)加余
　　【例1】三位数的自然数N满足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的自然数N有几个？
　　A.8B.9C.15D.16
　　【答案】C
　　【解析】由题意可知该自然数N除以6、5、4均余3，余数相同，属于余同，因此该自然数N满足通项公式N=60n+3 ，因为题目要求是三位数，所以99<60n+2<999，所以n可以等于2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16。总共是15个，选择答案C。
　　注：n前面的系数60是取6、5、4三个除数的最小公倍数。

　　(2)和同(除数和余数的和相同)加和
　　【例2】某个数除以5余3，除以6余2，除以7余1，求在0至500内满足这样的自然数有多少个?
　　A.3         B.2         C.4             D.5
　　【答案】A
　　【解析】此题我们通过观察会发现除数与余数的和相加均为8，则该自然数应满足N=210n+8，因此在0至500以内满足题干条件的自然数有8，218，428三个数。
　　注：n前面的系数210是取5、6、7三个除数的最小公倍数。

　　(3)差同(除数与余数之差相同)减差
　　【例3】三位运动员跨台阶，台阶总数在100-150级之间，第一位运动员每次跨3级台阶，最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级台阶，最后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶，最后一步还剩4级台阶。问：这些台阶总共有多少级?
　　A.119       B.121        C.129         D.131
　　【答案】A
　　【解析】方法一：代入排除法。A选项发现除3余2，除4余3，除5余4，满足题目的所有条件，所以选择答案A。
　　方法二：通过观察我们会发现除数与余数的差均为1，因此台阶数满足：N=60n-1(n=1,2,3……),可发现A项满足该通项公式。

　　2.一般情况--用同余特性解题
　　【例4】三位数的自然数P满足：除以3余2，除以7余3，除以11余4，则符合条件的自然数P有多少个?
　　A.5       B.4       C.6       D.7
　　【答案】B
　　【解析】此题不满足所给的条件不满足我们前面所讲的特殊情况，但是通过观察我们发现，7n+3=11m+4，7n=11m+1，11m+1能被7整除，所以m取5，n取8，最小数是59，恰好满足第一个条件，所以P=59+231n，要求是三位数，所以n可以取1，2，3，4，总共4个数字，所以答案选择B。

　　在做题的过程中，对于出现的和不同，差不同，余不同的情况，可以用同余特性得到很好的解决。主要思路是先找满足题干中两个条件的通项公式，将三者条件转化成二者条件，然后再次利用同余特性加以解决即可。希望广大考生在掌握方法的基础上，多加练习，一举成功。

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